Scelta degli elementi finiti

A partire dalla versione 6.50 di Sargon è stata aggiunta la possibilità di scegliere tra diversi tipi di elementi finiti per eseguire un’analisi. Questa scelta – senza nulla levare alla possibilità di scegliere gli elementi proposti, e quindi senza obbligare a decidere – consente all’analista di fare una serie di studi e di validazioni altrimenti impossibili.

Grazie a questa nuova funzionalità lo stesso problema può essere fatto calcolare con le diverse formulazioni senza alcuna difficoltà. Lo studio delle differenti risposte, tenute in conto le differenti proprietà degli elementi finiti (alcuni dei quali approssimano “dal basso”, ovvero sovraastimando le rigidezze, mentre altri no), può consentire di capire meglio dove possa trovarsi la soluzione “esatta”. Inoltre l’esecuzione di calcoli con differenti elementi finiti consente di avere un maggior grado di controllo sulla attendibilità della risposta. In quanto segue si darà una guida all’uso dei vari elementi finiti presenti in Sargon.

Si intendono non solo gli elementi membrana ma anche gli elementi plate-shell nella loro parte membranale. La scelta riguarda sia gli uni che gli altri e non può essere fatta disgiuntamente.

Al momento è possibile scegliere, per gli elementi a 4 nodi, tre diverse possibili formulazioni:

Si tratta di un elemento classico che possiede la importante proprietà di essere conforme. Questo vuol dire che esso ha la proprietà di essere sempre più rigido del vero, in modo che gli spostamenti ottenuti con questo elemento sono sempre inferiori a quelli esatti. Una serie di mesh via via più fitte, e fatte in modo tale da contenere sempre i nodi delle mesh precedenti, porta a convergere alla soluzione esatta in modo monotono. Questa importante proprietà consente di studiare la convergenza con una certa confidenza.

Il principale difetto di questo elemento è che tende ad essere eccessivamente rigido quando inflesso (locking), con mesh non molto fitte. Se ad esempio si modella un nucleo scale con elementi di questo genere in numero insufficiente (piastre o membrane che siano) le pareti soggette a flessione a mò di mensola tenderanno a spostarsi troppo poco, sottostimando la risposta dell’edificio (per un esempio vedi [1]).

Quando si usa questo tipo di elementi occorre quindi eseguire mesh con una discretizzazione molto fitta, o, per lo meno, studiare il cambiamento della risposta al variare della mesh in modo da quantificare la variazione della risposta. In compenso si ha una chiara informazione circa il posizionamento della risposta rispetto a quella esatta.

Per ovviare ai fenomeni di locking connessi con l’elemento bilineare sono stati proposti vari sistemi atti a diminuire la rigidezza dell’elemento. Il primo metodo fa uso di un’integrazione ridotta, ma esso genera rilevanti problemi in quanto vi sono dei movimenti che possono avvenire a prezzo di un’energia di deformazione nulla (modi spurii). In seguito è stato proposto il metodo della integrazione selettiva (SRI, selective reduced integration), che comporta un differente modo di integrare la parte della matrice di rigidezza collegata alla energia di deformazione “estensionale” (2x2 punti di Gauss), rispetto alla parte della matrice di rigidezza collegata alla energia di deformazione tagliante (1x1 punto di Gauss). L’elemento QUAD4SRI usa questo tipo di integrazione e quindi migliora sensibilmente le prestazioni dell’elemento QUAD4. In compenso vengono perse le proprietà legate alla convergenza, ragion per cui per questo elemento non si può dire se lo spostamento calcolato sia minore o maggiore di quello esatto. Per una approfondita discussione sulle tecniche di integrazione selettiva si rimanda ad esempio a [3] ed a [4], esponenti a riguardo di correnti di pensiero piuttosto diverse.

Sempre al fine di migliorare l’elemento a 4 nodi sono stati proposti elementi non compatibili (e quindi privi delle proprietà di convergenza dell’elemento QUAD4) i quali presentano, rispetto al normale QUAD4, 4 ulteriori parametri di interpolazione (2 per u e 2 per v). Questi elementi (elementi Q6) mostravano di comportarsi bene finchè rettangolari, ma non passavano il patch test se distorti. Per risolvere il problema del patch test sono state proposte delle correzioni (da Q6 a QM6) delle quali la migliore e più convincente è quella proposta da Wilson e Ibrahimbegovic [2], qui denominata QM6WI. L’elemento a quattro nodi in questione ha un eccellente comportamento già con mesh non molto fitte, e si pone quindi, nonostante la non-compatibilità, come uno degli elementi di elezione per l’analisi degli stati di sforzo membranali.

A titolo di esempio riportiamo da [1] una serie di risultati comparativi ottenuti su una mensola caricata all’estremo (un classico benchmark reperibile identico in letteratura), rispettivamente con i vari elementi finiti presenti in Sargon ed anche con l’elemento di Taylor-Simo presente in Sap90 ed in Sap2000 (TAYL4, il calcolo è stato fatto usando Sap90). Sono riportati i rapporti tra la soluzione calcolata e quella esatta per la freccia all’estremo e per la tensione normale all’estradosso a distanza H dall’incastro, essendo H l’altezza della mensola. I dati sono i seguenti: L=48cm, H=12cm, t=1cm, E=200kN/mmq, ν=0.25, P=40kN applicato a mezza altezza.

Mesh	Elementi	Dof	vA	σxB
2x8	16QUAD4	48	0.890	0.928
4x16	32QUAD4	160	0.970	0.987
2x8	16QUAD4SRI	48	0.974	1.022
4x16	32QUAD4SRI	160	0.995	1.013
2x8	16QM6WI	48	0.990	1.001
4x16	32QM6WI	160	0.999	1.000
2x8	16TAYL4	72	0.984	1.034
4x16	32TAYL4	240	0.997	1.016

[1] P.Rugarli “Calcolo Strutturale con gli Elementi Finiti”, EPC Libri, Roma, Settembre 2003.

[2] E.L.Wilson, A. Ibrahimbegovic, “Use of incompatible displacement modes for the calculation of element stiffnesses and stresses”, Finite Elements in Analysis and Design, 7, 1990, 229-241

[3] R.H. MacNeal, “Finite Elements:Their Design and Performance”, Marcel Dekker Inc., 1994