COME GESTIRE ELEMENTI SU SUOLO ELASTICO
A partire dalla versione 9.20 Sargon consente di gestire esplicitamente gli elementi su suolo elastico, e segnatamente la piastra su suolo elastico e la trave su suolo elastico.
In entrambi i casi l’utente dovrà selezionare degli elementi e poi assegnare a questi le proprietà del suolo elastico desiderato (con i comandi Mesh-Piastre e Membrane-Winkler e Mesh-Travi e Bielle-Winkler). Per le piastre il modello è quello di Winkler. Per le travi il modello è quello elastico generalizzato a due parametri, che contiene anche il modello di Winkler.
In entrambi i casi è conveniente utilizzare questi elementi per la maggior precisione che si può ottenere impiegando ordinari livelli di discretizzazione. Se lo scopo è quindi quello di pervenire ad un più esatto stato di sforzo sugli elementi (piastra o trave) l’uso delle formulazioni su suolo elastico è fortemente consigliato.
[N.b.: Nella versione 9.20 non sono ancora stati aggiunti comandi che diano lo sforzo nel terreno sotto gli elementi su suolo elastico. Infatti il terreno non risulta essere esplicitamente modellato mediante molle e va indagato con continuità sul dominio – linea o superficie. Nel caso di terreno alla Winkler si può tuttavia valutare l’entità dello sforzo esaminando le componenti di spostamento associate alla reazione del terreno. In particolare, eventuali trazioni del terreno, accettate in un modello puramente lineare, e non accettabili nella realtà fisica, possono essere individuate mediante lo studio dell’inviluppo degli spostamenti al variare delle combinazioni. Sotto le travi alla WInkler è sufficiente moltiplicare lo spostamento w(x) per k per ottenere la reazione del terreno per unità di lunghezza].
PIASTRA SU SUOLO ELASTICO
Con la versione 9.20 Sargon consente di assegnare agli elementi piastra anche una costante di Winkler k. Tale costante ha la dimensione fisica di una forza per unità di volume. La piastra viene inizialmente generata sempre con tale k=0. Per assegnare un k alle piastre selezionate si deve usare il nuovo comando Mesh-Piastre e Membrane – Winkler. Per togliere il k di Winkler occorre assegnare un valore nullo.
Le piastre che hanno un k di Winkler diverso da zero sono mostrate con una molla al centro dell’elemento, nella direzione normale al piano dell’elemento.
La possibilità di dare elementi plate su suolo elastico consente di ottenere una maggior precisione nello studio di platee su suolo elastico. Anziché assegnare le molle ai nodi è possibile assegnare direttamente la costante di Winkler agli elementi plate-shell.
La matrice di rigidezza dell’elemento viene modificata aggiungendo il termine
Dove N sono le funzioni di forma della parte traslazionale dello spostamento e k è la costante di Winkler. A parte la modifica della matrice di rigidezza, tutte le operazioni relative al post-processing restano invariate. Sebbene molto più preciso dell’approccio a molle concentrate, il sistema qui succintamente descritto (e reperibile in letteratura ad esempio nel testo del Cook di seguito precisato) non può essere considerato di precisione paragonabile a quello adottato per le travi su suolo elastico, in quanto la parte intrinseca della matrice di rigidezza resta inalterata. Pertanto il livello di discretizzazione dovrà essere molto elevato.
R.D. Cook, D. S. Maltus, M.E. Plesha, “Concepts and applications of finite element analysis”, John Wiley & Sons, 1989.
TRAVE SU SUOLO ELASTICO
Con la versione 9.20 di Sargon compare l’elemento trave su suolo elastico a due parametri. Tale aggiunta consente di studiare le travi su suolo elastico con molta maggior precisione rispetto a quanto possibile in precedenza. Non è più necessaria una elevata discretizzazione per studiare elementi beam su suolo elastico (trave rovescia), ma basta un solo elemento dato che le funzioni di forma dell’elemento su suolo elastico usano non più polinomi ma complicate funzioni trigonometriche ed esponenziali, che sono la soluzione esatta della equazione differenziale e che quindi forniscono già con un solo elemento il risultato corretto, sia in termini di azioni interne che in termini di spostamento
Valgono però le seguenti limitazioni:
1.L’elemento trave su suolo elastico può ricevere come carichi interni solo carichi distribuiti lineramente (o uniformi) tra un estremo e l’altro estremo. Non sono ammessi carichi concentrati o carichi che vadano da un punto interno ad un altro punto interno o d’estremo. Non sono inoltre ammesse le coppie distribuite. Tale limitazione non è molto forte se si tiene conto che di solito vi sono solo i carichi distribuiti e che nel caso di carichi concentrati è sempre possibile spezzare l’elemento in più elementi.
2.L’elemento trave su suolo elastico nonn considera la rigidezza a taglio, quindi i fattori di taglio non sono considerati.
3.Nelle analisi con Soclever, gli elementi su suolo elastico non contribuiscono alla rigidezza geometrica e quindi non sono oggetto di analisi del secondo ordine. Restano trattati al primo ordine andche se possono far parte di un più generale modello ove figurino analisi del secondo ordine (sugli altri elementi trave e sugli elementi biella).
Come accennato il modello è quello del suolo elastico a due parametri. Il lavoro di riferimento adottato per questo elemento è il seguente:
Feng Zhaohua, Robert D. Cook, “Beam Elements on Two-Parameter Elastic Foundations”, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 109, N° 6, December 6 1983.
Nel modello a due parametri, risulta che, dettow(x) l’abbassamento della trave e p(x) la reazione del terreno si abbia:
Il parametro k è l’ordinario parametro di Winkler, ed ha le dimensioni fisiche di una forza per unità di superficie. Si ottiene dalla costante di Winkler del terreno moltiplicandola per la larghezza della superficie di appoggio. Esprime una rigidezza (F/L) per unità di lunghezza.
Il parametro k1 è il secondo parametro e consente di modellare suoli con maggior generalità ed efficacia di quanto possibile con il solo k. k1 ha le dimensioni fisiche di una forza. In particolare il secondo parametro consente di evitare il tipico e ben riconosciuto fenomeno che fa sì che una trave su suolo elastico alla Winkler, soggetta ad un carico uniformemente distribuito, si abbassi senza inflettersi, cosa che è evidentemente in contrasto con la esperienza effettiva di travi su suoli reali. In effetti ciò dipende dal fatto che nel modello alla Winkler il terreno al di fuori della trave non si abbassa, Il modello a due parametri invece comporta una inflessione anche nel caso in cui vi sia un mero carico distribuito.
Il modello a due parametri contiene al suo interno le seguenti teorie, che tutte ricadono nella medesima equazione pur impiegando per il secondo termine una diversa formulazione collegata ad un diverso significato fisico:
1.Modello di Filonenko-Borodich
2.Modello di Pasternak
3.Modello di fondazione generalizzata
4.Fondazione di Vlasov
Si rimanda al già citato paper per i riferimenti esatti ai corrispondenti lavori. Qui si riporta solo la formulazione di Vlasov utile per determinare k1.
Dove:
b larghezza della trave
μ coefficiente di Poisson della trave
EI rigidezza flessionale della trave
Es modulo di elasticità del terreno
μs coefficiente di Poisson del terreno
γ un coefficiente numerico che dipende dalla fondazione (ad esempio, 1, 0.5, ecc.)
Per maggiori dettagli su come impostare il valore di k1 si rimanda alla letteratura tecnica sull’argomento. Ove non si abbia idea di come impostare il valore di k1 si suggerisce di lasciarlo nullo.
Per ottenere una ordinaria fondazione su suolo elastico alla Winkler è sufficiente porre k1=0.
k1 non deve mai raggiungere o superare il valore
Come già detto l’introduzione di uno specifico elemento finito di trave su suolo elastico semplifica di molto la creazione delle mesh corrispondenti, in quanto il livello di discretizzazione necessario a cogliere con precisione la risposta si abbassa drasticamente. Sia l’andamento della deformata, sia i diagrammi di taglio e momento flettente presentano variazioni secondo complicate funzioni trigonometriche ed esponenziali. In letteratura è noto che per cogliere correttamente il momento flettente e soprattutto il taglio è necessario dividere l’elemento in moltissimi sotto-elementi se si fa uso degli ordinari elementi a funzioni di forma cubiche. Per questa ragione si è sin da subito deciso che gli elementi avrebbero impiegato le molto più complesse funzioni di forma trigonometriche-esponenziali.
Nella figura che segue si vede il raffronto tra due travi modellate con le molle o con la nuova formulazione. E’ mostrato l’andamento del taglio.
Si noti che in un caso il modello (trave su suolo elastico con carico concentrato in mezzeria) è realizzato con due elementi finiti, nell’altro con ben 40. Nonostante ciò il taglio massimo (figura seguente) non è ancora colto dal modello ordinario con molle.
