|
SFORZI IN PIASTRE MEMBRANE E SOLIDI
I comandi da usare per lo studio degli sforzi negli elementi piastra e membrana sono tre: il comando Sforzi consente di scegliere una componente di sforzo o un invariante ed il modo di rappresentarlo; il comando Interroga consente di interrogare il programma sul valore ai quattro nodi della quantità visualizzata (con le regole precedentemente scelte con il comando Sforzi); il comando Legenda consente di impostare la legenda per la resa grafica degli sforzi. Nell'esaminare lo stato di sforzo negli elementi bidimensionali è bene tenere presente tutto quanto segue, organizzato nella seguente lista di argomenti:
A) GENERALITA' B) GLI ELEMENTI C) IL CALCOLO DEGLI SFORZI AI NODI D) RESA DEL CAMPO DI SFORZO SULL'ELEMENTO E) VALUTAZIONE DELLA PRECISIONE F) ADAPTIVE REFINEMENT G) REGOLE GENERALI SUGGERITE H) MODALITA' DI VISUALIZZAZIONE I) USO DELLA LEGENDA L) CONVENZIONI E TERMINOLOGIA M) BIBLIOGRAFIA
A) GENERALITA'
Il calcolo degli sforzi all'interno degli elementi piastra e membrana si presenta intrinsecamente più complesso di quello all'interno dei normali elementi trave o biella di tipo hermitiano. La maggior difficoltà è legata al fatto che gli elementi bidimensionali sono meno precisi degli elementi monodimensionali, per i quali le funzioni di forma rappresentano il campo di spostamenti esatto in assenza di carichi distribuiti. Poichè inoltre il campo degli sforzi è in genere ottenuto tramite il legame costitutivo, che richiede una differenziazione per passare dagli spostamenti alle deformazioni, parte della precisione viene ad essere perduta in quella fase. Per aumentare la precisione sono sostanzialmente possibili tre approcci: il primo è quello di aumentare la discretizzazione. Questo approccio è oggi maggiormente possibile di quanto non fosse quindici o venti anni fa grazie alle caratteristiche degli odierni microprocessori. Il secondo approccio è quello di usare elementi di ordine superiore (a 8 o a 9 nodi). Questo approccio è tipico dei programmi general purpose, dotati di una ampia libreria di elementi finiti. Il terzo approccio, che può coesistere con i primi due, è quello di ottenere una maggior precisione mediante una trattazione numerica degli sforzi effettuata successivamente alla stress recovery o variando opportunamente il modo di eseguire la stress recovery stessa: è questo l'ambito tipico delle tecniche di smoothing, delle interpolazioni, delle stime ai minimi quadrati, della integrazione ridotta o selettiva, e così via. La bibliografia sull'argomento è sterminata. Qui daremo solo brevi cenni rimandando ai testi in bibliografia per una carrellata sulle problematiche connesse alla valutazione degli sforzi. L'approccio seguito da Sargon fa capo a tecniche ampiamente consolidate ed elementi finiti di sicura affidabilità, pur non essendo così rapidi nel convergere come quelli di ordine superiore. Non essendo (nè volendo essere) un programma general purpose, la tecnica tipica per ottenere una maggior precisione usando Sargon è l'incremento della discretizzazione. Sargon enfatizza la imprecisione del calcolo mettendola chiaramente in evidenza. A differenza di altri programmi, che tendono a regolarizzare la risposta ed a valutarne la precisione con tecniche ingannevoli (cfr. più oltre), Sargon presenta i risultati in modo tale che sia evidente il loro grado di imprecisione. Questa scelta è voluta ed è fatta apposta per consentire all'analista di conoscere la reale situazione del proprio calcolo. Particolarmente utile a questo riguardo è la visualizzazione degli scarti interelementari nella visualizzazione delle isolinee (cfr. l'ottimo [2]: "We emphasize that the calculation of an error measure and its display is a most important aspect of a finite element solution. The quality of the finite element stress solution should be known").
B) GLI ELEMENTI
Gli elementi finiti usati da Sargon sono tutti classici elementi il cui comportamento, pregi e difetti sono ben noti. Per la parte menbranale Sargon usa elementi CST per i triangoli. L'elemento CST modella linearmente il campo di spostamenti e dà luogo ad una deformazione od uno sforzo costante. Non è un elemento quindi con il quale si possano modellare zone a forte gradiente, a meno di non usarlo con dimensioni sufficientemente piccole rispetto a quelle del gradiente in esame (in tal caso occorrerà aumentare la discretizzazione). Sempre per la parte membranale, Sargon usa per i quadrangoli l'elemento isoparametrico bilineare QUAD4 o in alternativa l’elemento bilineare con integrazione selettiva QUAD4SRI, o, ancora, l’elemento incompatibile QM6WI (vedi scelta degli elementi finiti). Il QUAD4 modella il campo di spostamenti con una curva bilineare, mentre il campo di sforzi risultante è lineare sull'elemento. L'integrazione è a quattro punti di Gauss (schema 2x2). Come è noto questo schema può dare un certo aumento di rigidezza (shear locking) quando si studino problemi di flessione su travi snelle. La contromisura consiste nella integrazione ridotta o in quella selettiva, anche implementata in Sargon. La integrazione ridotta non è stata implementata in quanto può dare modi spurii (deformazione senza energia di deformazione). Per quanto riguarda l’integrazione selettiva si tenga anche presente quanto suggerito in [2] ed in [3]("We recommend that full numerical integration always be used for a displacement-based or mixed finite element formulation[...]. The reason for recommending the numerical integration orders in table 5.9 is that the reliability of the finite element procedures is of utmost concern and if an integration order lower than the 'full' order is used for a displacement-based or a mixed formulation, the analysis is in general unreliable" [2]).
Per gli elementi di piastra (immaginata sottile, e cioè aderente alla teoria di Sophie Germaine-Kirchhoff) Sargon usa gli elementi DKT (Discrete Kirchhoff Triangle [7]). Nel caso degli elementi a quattro nodi vengono usati quattro elementi DKT sovrapposti, secondo la tecnica usata da ANSYS per il suo elemento SHELL63 [8]. Ciascun elemento DKT è integrato con tre punti di Gauss.
A partire dalla versione 7.0 si possono usare anche gli elementi di piastra spessa formulati da Hughes e Tezduyar. Si tratta di elementi da impiegare quando lo spessore della piastra da modellare non è “sottile” il che vuol dire compreso diciamo tra 1/50 ed 1/5 della dimensione libera. Per spessori ancora maggiori si è probabilmente nell’ambito di modellazioni solide. Gli elementi a tre nodi sono da usare con parsimonia in quanto hanno la tendenza a comportarsi in modo eccessivamente rigido, ben più che i fratelli a 4 nodi.
C) IL CALCOLO DEGLI SFORZI AI NODI
E' ben noto che i punti più affidabili ove calcolare il campo di sforzo sono gli stessi punti ove si è integrata la matrice di rigidezza, i punti di Gauss (ad esempio, "stresses at Gauss points can be interpolated or extrapolated to other points in the element. The result obtained is usually more accurate than the result of evaluating [stresses] directly at the point of interest" [3]). Questi punti sono dunque i primi ove lo sforzo è valutato. Si pone allora il problema di ottenere lo stato di sforzo ai nodi partendo dallo stato di sforzo nei punti di Gauss. Per ottenere questo risultato si possono impiegare varie tecniche ([2], [3], [5]) alcune delle quali però mostrano di essere potenzialmente pericolose (cfr. [6] a proposito dei risultati ottenuti con il solutore ALGOR). Per gli elementi CST lo sforzo ai nodi coincide con lo sforzo calcolato nel punto di Gauss. Per gli elementi isoparametrici ad interpolazione bilineare (QUAD4 e QUAD4SRI) lo stato di sforzo nei nodi è ottenuto a partire da quello nei punti di Gauss immaginando che lo sforzo segua la stessa legge bilineare impiegata per lo spostamento: vengono così identificati gli sforzi nodali che, con quella legge di interpolazione, portano ad avere nei punti di Gauss gli sforzi là calcolati. La tecnica è descritta ad esempio in [3]. Per gli elementi QM6WI la tecnica di calcolo degli sforzi fa uso di considerazioni di equilibrio e si presenta diversamente da quanto viene normalmente fatto (si veda [9]). Questa tecnica consente di avere migliori stime degli sforzi anche in presenza di un campo di spostamenti piuttosto impreciso.
Per i DKT gli sforzi di piastra vengono calcolati direttamente nei nodi, e si vede che ciò è equivalente a calcolarli nei punti di Gauss per poi estrapolarli ai nodi con legge di variazione lineare. Per gli elementi a quattro nodi gli sforzi vengono calcolati nei nodi di ciascun elemento triangolare e poi il valore finale è ottenuto facendo la media dei valori ottenuti con i tre sotto-elementi che arrivano al nodo in questione. Questa tecnica è diversa da quella adottata da ANSYS che invece esegue una stima ai minimi quadrati con tutti e 12 i punti di Gauss (3 punti x4 triangoli).
D) RESA DEL CAMPO DI SFORZO SULL'ELEMENTO
Una volta noto lo sforzo ai nodi dell'elemento è poi necessario determinare la variazione dello sforzo all'interno del dominio dell'elemento. Sono state descritte varie tecniche per ottenere questo scopo. Sargon adotta una interpolazione lineare (v=ax + by + c) sugli elementi a tre nodi, un'interpolazione bilineare sugli elementi a quattro nodi (v=ax+by+cxy+d). Naturalmente il campo di sforzi "esatto" non segue queste leggi, tuttavia, se la dimensione dell'elemento è piccola rispetto a quella del gradiente del campo, l'approssimazione è sufficientemente affidabile. Naturalmente una piastra modellata con tre soli elementi esibirà un campo di sforzo inattendibile, mentre una piastra sufficientemente discretizzata esibirà un comportamento attendibile. Grazie a questa assunzione (o ad ogni altra possibile assunzione ad essa equivalente) è possibile descrivere le isolinee (curve che rappresentano i punti ove lo sforzo è costante) all'interno dell'elemento stesso. A tale riguardo va detto che mentre queste isolinee sono nel caso degli elementi triangolari delle rette, da lato a lato dell'elemento, nel caso degli elementi a quattro nodi esse sono delle iperboli (v=ax+by+cxy+d= costante). Per sposare queste iperboli Sargon usa in genere sette punti da lato a lato. Il tracciamento delle isolinee è però rallentato dalla ricerca di questi punti interni, per cui è possibile scegliere di rappresentare le isolinee in modo "rozzo" mediante un semplice segmento di retta da lato a lato (comando Legenda).
E) VALUTAZIONE DELLA PRECISIONE
Come già anticipato la valutazione della precisione è un aspetto di fondamentale importanza in ogni analisi agli elementi finiti. Se quello che interessa è il campo di sforzo all'interno di un continuo bidimensionale modellato con elementi piastra o membrana, la valutazione della precisione può essere fatta in maniera chiara ed al tempo stesso affidabile nel modo che segue. Si è visto che si è in grado di stimare il valore degli sforzi ai nodi di ogni elemento e di disegnare delle mappe che rappresentano regioni aventi sforzo costante. Quando si vanno ad esaminare i risultati osservando due elementi contigui si dovrà sempre constatare che lungo il lato in comune tra i due elementi vi sono delle discontinuità. Tali discontinuità dipendono dal fatto che il valore di sforzo S ottenuto sul nodo I pensato appartenente all'elemento N, SIN, è diverso dal valore di sforzo S ottenuto sullo stesso nodo I pensato appartenente all'elemento M, SIM. Chiamiamo scarto la quantità (SIN-SIM). La immediata rappresentazione grafica dell'esistenza di questi scarti è data dal fatto che le isolinee presentano in generale un andamento interrotto, in quanto non vi è la continuità interelementare. L'entità delle discontinuità può rendere questo effetto così marcato da rendere pressochè indecifrabili le linee di isolivello. In questo caso, o in tutti i casi in cui a giudizio dell'analista risulti marcato l'effetto di discontinuità delle linee di isolivello, è necessario fare un nuovo calcolo con una mesh infittita. Tutti gli Autori concordano che il valor medio degli sforzi in un nodo è una stima generalmente più precisa di quanto avviene in quel nodo che quella ottenuta con i valori dei singoli elementi (global smoothing). E' perciò assolutamente naturale sostituire ai valori calcolati con ciascun elemento il valor medio di questi valori, su ogni nodo. Il campo risultante è più affidabile di quello ottenibile con i valori dei singoli elementi, ma non può stravolgere il valore di precisione ottenibile esaminando con cura gli scarti da elemento a elemento. Con il global smoothing ogni discontinuità è sparita: per questo secondo motivo è raro vedere nelle relazioni rappresentazioni che evidenzino gli scarti, sebbene sia assolutamente necessario conoscerne l'entità. Gli scarti (che ci sono sempre) parlano direttamente di precisione, il global smoothing fa apparire precisa ogni analisi. In altre parole il cosiddetto "global smoothing", ovvero l'operazione di media su un nodo da elemento a elemento è una tecnica tanto utile quanto potenzialmente pericolosa, in quanto nasconde gli scarti e rende impossibile una valutazione della bontà della analisi. Inoltre in presenza di discontinuità di materiale o di spessore questa tecnica è totalmente inattendibile (si immagini un filo e una barra connessi in serie e tirati da N, lo sforzo nel filo è effettivamente più grande di quello nella barra!). Alcuni programmi presentano "di default" i valori di sforzo con il global smoothing, Sargon invece no: i Sargon il global smoothing deve essere espressamente richiesto ed è comunque segnalato nelle stampe per mezzo della dicitura "scarti eliminati". Sebbene la misura ad occhio della precisione mediante l'esame della entità dei salti nelle isolinee sia estremamente efficace, pure è evidentemente necessario dare una misura di questa precisione mediante una stima quantitativa. Alcuni programmi misurano la precisione con un algoritmo che è pericoloso: l'errore in un nodo sarà 0.5(Max-min)/GMAX, dove Max è il massimo valore dello sforzo di Von Mises in quel nodo come risultante dai vari elementi ad esso attaccati, Min è il valore minimo in quel nodo, GMAX è il massimo valore dello sforzo di Von Mises letto sull'intero modello. Questa misura si presta a qualche critica: infatti, se si sta esaminando una zona dove lo sforzo non è quello massimo si ha un brutale abbattimento del valore di errore senza che vi sia alcuna ragione per farlo. Per esempio se il massimo è 1000Mpa magari raggiunto in un solo nodo lontano dove ho una concentrazione di sforzo, ed io ho 120 come massimo nel nodo in esame e 60 come minimo, l'errore misurato sarà (120-60)/1000=0.06, ovvero solo il 6%, anche se 120 è il doppio di 60 ed anche se lo scarto è elevato (60Mpa!).Una seconda critica è che l'errore non può essere mostrato per il solo sforzo di Von Mises, ma andrebbe mostrato per ogni possibile componente di sforzo, giacchè non è detto che tutti gli sforzi siano misurati con identica precisione. La prima idea è di sostituire alla precedente stima dell'errore la seguente: 0.5(Max-min)/min. Questa stima ha però lo svantaggio di non tenere in conto l'entità dello scarto. Se ad esempio ho in un nodo il massimo pari a 0.0001Mpa ed il minimo stimato pari a 0.00005Mpa l'errore sarà del 100%, ma in realtà ciò impensierisce assai poco data comunque la esiguità dell'entità dello sforzo. Sargon dà una misura quantitativa della precisione che è una stima dimensionale (non un numero puro). L'errore è dato in termini di scarto quadratico medio sul nodo (cfr. Malerba in [4]), cosicchè si conosce nelle varie zone del modello l'entità degli scarti medi attesi letta direttamente nella unità di misura attiva. Nel caso di prima (60 e 100), si leggerebbe 20Mpa come errore medio atteso (sqrt(((60-80)*(60-80)+(100-80)*(100-80))/2). La rappresentazione degli scarti può essere chiesta per ogni componente di sforzo, anche se ha senso solo per gli invarianti (tensore nel riferimento globale, sforzo di Von Mises, sforzi principali massimi e minimi, invarianti del tensore, tutti in presenza di continuità strutturale, mentre non ha senso per le componenti del tensore nel riferimento locale, giacchè questo varia da elemento a elemento).
F) ADAPTIVE REFINEMENT
Per adaptive refinement ([5]) si intende la tecnica in base alla quale la mesh viene infittita solo in certe zone, dipendentemente dalla stima dell'errore commesso in quelle zone stesse. In Sargon l'infittimento è fatto dimezzando il passo della mesh degli elementi da raffinare ed aggiustando poi gli elementi contigui in modo da sposare, localmente, il nuovo passo di mesh (Adaptive Refinement). Iterando questa tecnica si può rapidamente arrivare a ridurre gli scarti della soluzione a valori ritenuti accettabili dall'analista. Un'importante considerazione è quella legata alla distorsione degli elementi. Nel corso dei raffinamenti gli elementi adiacenti alla zona infittita vengono ridefiniti in modo da non aggiungere nodi ulteriori: ciò può alla lunga portare ad aumentare la distorsione degli elementi e quindi a zone ove la forma degli elementi è inaccettabile. La contromisura consiste nell'ampliare la zona da infittire o nel coinvolgere in successivi remeshing gli elementi distorti.
G) REGOLE GENERALI SUGGERITE
E' molto facile produrre un'analisi agli elementi finiti, più difficile è produrre una analisi realmente affidabile. Se la valutazione dello stato di sforzo negli elementi bidimensionali è importante la prima cosa da fare è esaminare una o più componenti dello stato di sforzo in presenza degli scarti. Se le linee di isolivello sono irriconoscibili o scarsamente riconoscibili occorre rifare l'analisi aumentando la discretizzazione. Se le linee di isolivello appaiono accettabili occorre valutare l'errore mappando gli scarti, e considerare i valori ottenuti con lo smoothing affetti, punto per punto da un errore (positivo o negativo) dell'entità quantificata dal programma. L'errore fornito da programma dovrebbe sempre essere paragonato alla precisione richiesta dal calcolo in esame. Ad esempio un valore massimo di 100Mpa con un errore di 20Mpa può lasciare tranquilli se la soglia è ad esempio 160Mpa. Ma se il valore è 150 e l'errore è 50, allora occorre rifare l'analisi.
H) MODALITA' DI VISUALIZZAZIONE
Sargon consente di vedere sia gli sforzi membranali che quelli flessionali. E' possibile chiedere al programma, cioè, di calcolare lo stato di sforzo usando solo le azioni di membrana trascurando i momenti di piastra. Allo stesso modo è possibile chiedere al programma di vedere solo la componente flessionale e non quella membranale. In questi casi una scritta nella legenda segnala la scelta fatta. Se si decide di vedere lo stato di sforzo completo o quello solo flessionale, sorge il problema legato al fatto che lo stato di sforzo cambia tra la faccia superiore e quella inferiore della piastra. Sargon consente di scegliere se vedere lo stato di sforzo sulla faccia visibile (sia essa superiore o inferiore) o su quella nascosta. Nel caso di elementi membrana questa opzione è ovviamente inutile. Se vengono estratti degli elementi Sargon fa vedere i massimi e i minimi assumendo come massimo il massimo valore presente tra gli elementi estratti e non il massimo valore complessivo: ciò consente di studiare più in dettaglio parti della struttura.
I) USO DELLA LEGENDA
La legenda viene personalizzata con il comando Legenda. Personalizzare la legenda vuol dire scegliere il numero di intervalli da usare per le isolinee (il default è 10) e scegliere il colore usato per ciascuna banda di sforzo. E' inoltre possibile chiedere al programma di calcolare le isolinee rettificandole da lato a lato dell'elemento, in modo da sveltire le operazioni. Spesso molto utile è la possibilità di scegliere dei valori di minimo e massimo arbitrari: grazie a questa possibilità è dato vedere evidenziate le regioni del modello che superano un certo valore di soglia, o che si trovano in un certo range. Questa possibilità è anch'essa contenuta nel comando Legenda.
L) CONVENZIONI E TERMINOLOGIA
Le convenzioni usate da Sargon sia a schermo che nel tabulato ricalcano quelle solite impiegate nei testi sull'argomento. Per il tensore dello sforzo si assumono positive le trazioni. I pedici 1,2,3 indicano il riferimento locale. I pedici x,y,z il riferimento globale. Per i momenti di piastra si deve tenere presente che il momento m11 è il momento che provoca una σ11 positiva sulla faccia superiore dell'elemento. Il momento m12 provoca una τ12 positiva sulla faccia superiore dell'elemento. I momenti mxx, myy, mzz sono ottenuti per trasformazione e servono a dare quantità indipendenti dal sistema di riferimento locale dell'elemento, che può in generale essere assai diverso da elemento a elemento. Nel tabulato di output gli sforzi sono dati con le stesse convenzioni. Per le piastre vengono dati, per ogni elemento selezionato, i seguenti valori:
Plate CC I S1m S2m S12m m1 m2 m12 J S1m S2m S12m m1 m2 m12 K S1m S2m S12m m1 m2 m12 L S1m S2m S12m m1 m2 m12
Dove: Plate indica il numero di elemento; CC la condizione di carico o la combinazione (se CC > NLCASE, CC è la combinazione CC-NLCASE); I,J,K,L sono i quattro nodi ordinatamente presi: ad ogni riga corrisponde l'output di un nodo. S1m indica la tensione σ11 membranale; S2m indica la tensione σ22 membranale; S12m indica la tensione τ12 membranale; m1 indica il momento per unità di lunghezza (momento che genera una σ11 flessionale) m2 indica il momento per unità di lunghezza (momento che genera una σ22 flessionale) m12 indica il momento per unità di lunghezza (momento che genera una τ12 torsionale)
Per le membrane vengono dati, per ogni elemento selezionato, i seguenti valori:
Membr CC I SVm SI SII S1 S2 S12 J SVm SI SII S1 S2 S12 K SVm SI SII S1 S2 S12 L SVm SI SII S1 S2 S12
Membr indica il numero di elemento; CC la condizione di carico o la combinazione (se CC > NLCASE, CC è la combinazione CC-NLCASE); I,J,K,L sono i quattro nodi ordinatamente presi: ad ogni riga corrisponde l'output di un nodo. SVm indica lo sforzo di Von Mises; SI indica lo sforzo principale minimo; SII indica lo sforzo principale massimo; S1 indica la tensione σ11 membranale; S2 indica la tensione σ22 membranale; S2m indica la tensione σ22 membranale; S12 indica la tensione τ12 membranale;
M) BIBLIOGRAFIA
[1] Meccanica delle strutture, 2, Le teorie strutturali ed il Metodo degli elementi finiti, L. Corradi Dell'Acqua, Mc Graw Hill, 1992 [2] Finite Element Procedures, K. J. Bathe, Prentice Hall International Ed., 1996 [3] Concepts and Applications of Finite Element Analysis, R. D. Cook, D. S. Malkus, M.E.Plesha, Third Ed., John Wiley & Sons, 1989 [4] Analisi per Elementi Finiti: Modellazione Strutturale e Controllo dei Risultati, a cura di B.A. Schrefler A.A: Cannarozzi, CISM - International Centre for Mechanical Sciences, 1991 [5] The Finite Element Method vol. 1 and 2, O.C. Zienkiewicz, R.L.Taylor, Fourth Ed. McGraw Hill, 1991 [6] On the use of finite element programs in structural evaluation and development of design charts, A. Mufti, G.Tadros, A.C. Agarwal, Can. J. Civ.Eng. 21, 797-804 (1994) [7] A study of three-node triangular plate bending elements, J.L. Batoz, K.J.Bathe, L.W. Ho, Int. Jou. Num. Met. Eng., 15, 1771-1812 (1980) [8] ANSYS User's Manual - Theory - rev. 5.0, 1992 [9] Use of incompatible displacement modes for the calculation of element stiffnesses and stresses, E.L.Wilson, A. Ibrahimbegovic, , Finite Elements in Analysis and Design, 7, 1990, 229-241
|